求证塞瓦定理

janehf 1年前他留下的回答 已收到1个回答

james7902 网友

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塞瓦定理 　　在△ABC内任取一点O,　　直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 　　证法简介 　　（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：　　∵△ADC被直线BOE所截,　　∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 　　而由△ABD被直线COF所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② 　　②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明 　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 　　同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ 　　③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,　　根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cotA）/[(CD*cotB）]*[(AE*cotB)/(AE*cotC)]*[(BF*cotC)/[(BF*cotA)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点.　　可用塞瓦定理证明的其他定理; 　　三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D ,E分别为BC ,AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 　　且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 ,所以三角形三条中线交于一点,即为重心 用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点 　　此外,可用定比分点来定义塞瓦定理：　　在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB.于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1.（注意与梅涅劳斯定理相区分,那里是λμν=-1）

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